椭圆曲线原理椭圆曲线签名椭圆曲线命令椭圆曲线常用函数 - openssl

一、椭圆曲线原理

1、算法帮助：https://cryptobook.nakov.com/asymmetric-key-ciphers

2、椭圆曲线函数y^2 = x^3 + ax + b，椭圆曲线参数(p, a, b, n, x, y)；

3、(p, a, b)定义了椭圆曲线，p是素数域，数学计算都在这个范围；

4、(x, y)定义了椭圆曲线基点G，n是基点的阶，是曲线上点的个数；

5、椭圆曲线上的任何一点都可以表示为kG，k范围是[1, n-1]；

6、椭圆曲线是否安全由p和n共同决定，p和n都必须足够大；

7、假定Q=dG，那么d为私钥是一个数，Q为公钥是一个点；

8、椭圆曲线操作：double、add、multiply，不是算数运算；

9、椭圆曲线操作：multiply可以分解为double和add；

DH密钥交换算法：

1、Alice与Bob确定两个大素数n和g，这两个数不用保密
2、Alice选择另一个大随机数x，并计算A如下：A=gx mod n
3、Alice将A发给Bob
4、Bob选择另一个大随机数y，并计算B如下：B=gy mod n
5、Bob将B发给Alice
6、计算秘密密钥K1如下：K1=Bx mod n
7、计算秘密密钥K2如下：K2=Ay mod n
K1=K2，因此Alice和Bob可以用其进行加解密

SM2加密算法：

1、生成随机数k，C1=kG，C1为加密结果的第一部分；

2、Q是公钥，S=kQ=kdG=(x2,y2)，dk=kdf(x2,y2,data.len)

3、C3=sm3(x2+data+y2)，C3校验值为加密结果的第二部分；

4、C2=encrypt(dk,data)，明文数据和加密数据长度一样；

5、加密结果为C1C3C2，C1长度64字节，C2长度32字节；

6、d是私钥，S=dC1=kdG=(x2,y2)，dk=kdf(x2,y2,data.len)

二、椭圆曲线签名

ECDSA签名算法：

1、生成随机数k，R=kG，R的x坐标即为签名结果r；

2、d是私钥，z是数据哈希，invert(k,n)*(z+dr)即为签名结果s；

3、Q是公钥，invert(s,n)*z*G + invert(s,n)*r*Q=R即为验签过程；

4、如果随机数k泄露了，可以通过签名值推导出私钥d；

5、如果两次签名使用同一个随机数k，可以通过签名值推导出k；

Schnorr签名算法：

1、公钥dG=(x1,x2)，公钥(n-d)G=(x2,y2)，x1=x2，y1+y2=p，y1y2一个是奇数一个是偶数；

2、schnorr签名算法使用的私钥对应公钥的y坐标是偶数，所以私钥要么是d，私钥要么是n-d；

3、标签哈希算法：sha256(sha256(tag) || sha256(tag) || data)，标签示例BIP0340/aux/nonce；

4、签名r：R=kG，k是随机数，R的x坐标是签名结果r；

5、签名s：s=k+ed，k是随机数，e是挑战码，d是私钥；

6、验签：sG=R+eP，R=kG，e是挑战码，P=dG是公钥；

7、辅助随机数：每次签名使用不同的辅助随机数，可以简单递增辅助随机数；

8、k生成因子：辅助随机数aux_rand、私钥d、公钥横坐标P[x]、消息m；

9、e生成因子：随机私钥横坐标R[x]、公钥横坐标P[x]、消息m；

10、批量验证：(s1 + a2s2 + .. ausu)G = (R1 + a2R2 + .. auRu) + (e1P1 + a2e2P2 + .. aueuPu)

11、批量验证：随机数ai=sha256(seed || i)，seed=sha256(public keys || messages || signatures)；

12、批量验证：支持同时验证多组签名，每组签名使用一个随机数，第一组签名通常不使用随机数；

Schnorr签名优势：

1、schnorr签名算法是线性的，因此支持批量验证，支持多重签名；

2、schnorr多重签名：多个签名结果直接相加，多个公钥直接相加之后验证签名；

3、schnorr多重签名：合并签名结果节约了存储空间，公钥相加之后验证提升了验证效率；

4、签名延展性：修改签名结果，签名一定失效，就具备签名延展性；

5、ecdsa不具备签名延展性，schnorr具备签名延展性；

三、椭圆曲线命令

openssl ecparam -list_curves，显示支持的曲线类型

openssl ecparam -genkey -name secp192k1 -out ec.pem，生成pkcs1格式私钥

openssl ec -param_out -in ec.pem | openssl asn1parse，查看曲线类型

openssl ec -in ec.pem -pubout -out ecpub.pem，导出公钥
openssl ec -noout -text -in ec.pem，查看私钥

openssl ecparam -out curve.param -name secp256k1，生成曲线参数
openssl genpkey -paramfile curve.param -out ec.pem，生成pkcs8格式私钥
openssl pkey -in ec.pem -pubout -out ecpub.pem，导出公钥

openssl pkey -noout -text -in ec.pem，查看私钥

openssl dgst -ecdsa-with-SHA1 -sign ec.pem -out sign datafile
openssl dgst -ecdsa-with-SHA1 -verify ecpub.pem -signature sign datafile

四、椭圆曲线常用函数

1、EC_KEY_new_by_curve_name(nid)，生成EC_KEY，包含椭圆曲线参数EC_GROUP；

2、EC_KEY_generate_key(key)，生成椭圆曲线私钥和公钥；

3、EC_KEY_get0_group(key)，获取椭圆曲线参数；

4、EC_GROUP_get_degree(group)，获取私钥比特位数，比如曲线secp192k1返回192；

5、EC_KEY_get0_private_key(key)，获取私钥，打印值与openssl显示一致；

6、EC_KEY_get0_public_key(key)，获取公钥，打印值与openssl显示一致；